Bilangan Bulat

A.      BILANGAN BULAT

1.        Pengertian Bilangan Bulat

untuk memahami apa itu bilangan bulat coba perhatikan penjelasan berikut: sumber: buku Matematika Konsep dan Aplikasi (BSE)

Coba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar mengenai bilangan cacah. Bilangan cacah yaitu 0, 1, 2, 3, .... Jika bilangan cacah tersebut digambarkan pada suatu garis bilangan, apa yang kalian peroleh? Seseorang berdiri di atas lantai berpetak. Ia memilih satu garislurus yang menghubungkan petak-petak lantai tersebut. Ia berdiri di satu titik dan ia namakan titik 0.

            Garis pada petak di depannya ia beri angka 1, 2, 3, 4, .... Jika ia maju 4 langkah ke depan, ia berdiri di angka +4. Selanjutnya, jika ia mundur 2 langkah ke belakang, ia berdiri di angka +2. Lalu ia mundur lagi 3 langkah ke belakang. Berdiri di angka berapakah ia sekarang? Di angka berapa pulakah ia berdiri, jika ia mundur lagi 1 langkah ke belakang?

Perhatikan bahwa posisi 4 langkah ke depan dari titik nol (0) dinyatakan dengan +4. Demikian pula posisi 2 langkah ke depan dinyatakan dengan +2. Oleh karena itu, posisi 4 langkah ke belakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan –4. Adapun posisi 2 langkah kebelakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan –2. Pasangan-pasangan bilangan seperti di atas jika dikumpulkan akan membentuk bilangan bulat. Tanda + pada bilangan bulat biasanya tidak ditulis. Kumpulan semua bilangan bulat disebut himpunan bilangan bulat dan dinotasikan dengan B={..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Bilangan bulat terdiri atas himpunan bilangan bulat negatif{...,–3,–2,–1}, nol {0}, dan himpunan bilangan bulat positif {1, 2, 3, ...}.

2.        Letak Bilangan Bulat pada Garis Bilangan

Pada garis bilangan, letak bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai berikut.

Pada garis bilangan di atas, bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ... disebut bilangan bulat positif, sedangkan bilangan –1, –2, –3, –4, –5, ... disebut bilangan bulat negatif. Bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol, sedangkan bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol.

3. Menyatakan Hubungan antara Dua Bilangan Bulat

 

Perhatikan garis bilangan di atas.

Pada garis bilangan tersebut, makin ke kanan letak bilangan, makin besar nilainya. Sebaliknya, akin ke kiri letak bilangan, makin kecil nilainya. Sehingga dapat dikatakan bahwa untuk setiap p,q bilangan bulat berlaku:

a. jika p terletak di sebelah kanan q maka p > q;

b. jika p terletak di sebelah kiri q maka p < q.

Contoh:

Pada suatu garis bilangan,

 bilangan –3 terletak di sebelah kiri bilangan 2 sehingga ditulis:

 –3 < 2 atau 2 > –3.

bilangan –3 terletak di sebelah kanan –5 sehingga ditulis:

–3 > –5 atau –5 < –3.

Jika kedua kalimat di atas digabungkan maka diperoleh

–5 < –3 < 2 atau 2 > –3 > –5.

B.       OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT

1.        Penjumlahan Pada Bilangan Bulat

Contoh:

Hitunglah hasil penjumlahan dengan menggunakan garis bilangan. 6 + (–8)

Penyelelesaian:

Untuk menghitung 6 + (–8), langkah-langkahnya sebagai berikut.

(a)    Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 6 satuan ke kanan sampai pada angka 6.

(b)   Gambarlah anak panah tadi dari angka 6 sejauh 8satuan ke kiri.

(c)    Hasilnya, 6 + (–8) = –2.

2.        Pengurangan pada Bilangan Bulat

a.        Pengurangan dinyatakan sebagai penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, maka berlaku a – b = a + (–b).

a.       7 – 9 = 7 + (–9) = –2

b.      –8 – 6 = –8 + (–6) = –14

c.       15 – (–5) = 15 + 5 = 20

d.      –12 – (–6) = –12 + 6 = –6

b.        Pengurangan dengan alat bantu

Cara menghitung hasil pengurangan dua bilangan bulat dengan bantuan garis bilangan berikut ini.

Contoh:

4 – 7

Jawab:

Untuk menghitung 4 – 7, langkah-langkahnya sebagai berikut.

(a)      Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 4 satuan ke kanan sampai pada angka 4.

(b)     Gambarlah anak panah tersebut dari angka 4 sejauh 7 satuan ke kiri sampai pada angka –3.

(c)      Hasilnya, 4 – 7 = –3.

 

3.        Perkalian pada Bilangan Bulat

Kalian telah mengetahui bahwa perkalian adalah operasi penjumlahan berulang dengan bilangan yang sama. Perhatikan contoh berikut.

4.5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20

5.4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

Meskipun hasilnya sama, perkalian 4 x5 dan 5 x 4 berbeda artinya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.

Jika n adalah sebarang bilangan bulat positif maka:

            n x a = a + a + a +...+ a

4.        Pembagian Bilangan Bulat

a.        Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalian

Perhatikan uraian berikut.

(i) 3 . 4 = 4 + 4 + 4 = 12

     Di lain pihak, 12 : 3 = 4 atau dapat ditulis

     3 .4 = 12 à 12 : 3 = 4.

(ii) 4 . 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

     Di lain pihak, 12 : 4 = 3, sehingga dapat ditulis

     4 .3 = 12à12 : 4 = 3.

    Dari uraian di atas, tampak bahwa pembagian merupakan operasi kebalikan (invers) dari perkalian. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut.

Jika p, q, dan r bilangan bulat, dengan q faktor p, dan q ≠0 maka berlaku:

p : q = r ßàp = q x r.

b.        Menghitung hasil pembagian bilangan bulat

Untuk setiap p, q, r bilangan bulat, q ≠ 0 dan memenuhi p : q = r berlaku

(i)        jika p, q bertanda sama, r adalah bilangan bulat positif;

(ii)       jika p, q berlainan tanda, r adalah bilangan bulat negatif.

c.         Pembagian dengan bilangan nol

Untuk menentukan hasil pembagian bilangan bulat dengan ilangan nol (0), ingat kembali perkalian bilangan bulat dengan bilangan nol. Untuk setiap a bilangan bulat berlaku: a x 0 = 0 ßà0 : a = 0

Jadi, dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a, berlaku 0 : a = 0; a ≠ 0.

Hal ini tidak berlaku jika a = 0, karena 0 : 0 = tidak terdefinisi.